椭圆5X^2+8XY+5Y^2=9的长短半轴之长？

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/25 01:15:53
该椭圆为什么是以原点为中心的呢？

先推导坐标旋转公式：
有2个右手螺旋平面直角坐标系，UOV和XOY.
2坐标系共原点O。
U0V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间的夹角为θ。
[可以在纸上画一个XOY坐标系，然后让U轴在XOY的第一象限，画出UOV坐标系来。0 ＜ θ ＜π/2]
则，
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UOV坐标系下的坐标为(U,V)。
[在XOY,UOV的第一象限的公共部分画一点P,然后由P分别向X,Y,U,V画垂线]
设│OP│=r容易得到:X=Ucosθ-Vsinθ,Y=Usinθ+Vcosθ ①
U=Xcosθ+Ysinθ,V=Xsinθ-Ycosθ ②
对于此题：可以将坐标旋转θ使得不含XY(UV)项:
由公式①：
9=5(ucosθ-vsinθ)^2+8(ucosθ-vsinθ)(usinθ+vcosθ)+5(usinθ+vcosθ)^2
=(5+4sin2θ)u^2+8uvcos2θ+(5-4sin2θ)v^2
要消去uv项，则cos2θ=0,2θ=π/2,θ=π/4,
于是：u^2+v^2/9=1
显然：椭圆半长轴为：3/2，半短轴为1/2。
由于是以原点旋转所以椭圆的中心不变。